Na mi a matek?...

A matek és az örök kérdés

Valószínűleg te is átélted azt az érzést az iskolában, amikor egy különösen nehéz matekóra közepén felmerült benned: „De mégis, mire fogom használni ezt az életben?” Ez a kérdés nem újkeletű; generációk tették már fel, miközben az algebra, geometria vagy éppen a kombinatorika rejtelmeivel küzdöttek.

A válasz azonban sokkal komplexebb, mint gondolnánk. A matematika nem csak arról szól, hogy számolni tanuljunk, vagy egy képletet hibátlanul alkalmazzunk. A matematika egy univerzális nyelv, amely gondolkodásunk alapjait fejleszti, és lehetővé teszi, hogy a világot rendszerezettebben és érthetőbben lássuk. A következő fejezetekben megmutatom, hogyan formálja a matematika az életünket, hogyan van jelen mindenhol, és miért érdemes még a látszólag feleslegesnek tűnő részeket is komolyan venni.

A matematika, mint a gondolkodás edzőterme

A matematika tanulása olyan, mint az edzőteremben végzett edzés. Lehet, hogy nem fogod naponta használni a logaritmusokat vagy a Pitagorasz-tételt, de az, ahogyan az agyadat edzi, az egész életed során előnyödre válik.

Problémamegoldás: Az alapvető készség az életben

A matematikai feladatok megoldása arra tanít, hogyan bontsunk le bonyolult problémákat kisebb, kezelhetőbb részekre. Például amikor egy egyenletet próbálsz megoldani, először azonosítod a kulcselemeket, majd logikai sorrendben dolgozol rajta. Ez a fajta strukturált gondolkodás a mindennapokban is hasznos, például amikor egy komplex projektet kell megtervezned, vagy egy konfliktust próbálsz megoldani.

Példa: „Egy családi nyaralás tervezése során ugyanaz a logika segít, mint amikor egy matekfeladatot oldasz meg: először meghatározod a célt (hova menjetek), majd felméred a rendelkezésre álló erőforrásokat (költségvetés, idő), végül megtervezed az optimális útvonalat.”

Absztrakció: Az elvont gondolkodás hatalma

A matematika arra tanít, hogy a konkrét példákból hogyan vonjuk le az általános törvényszerűségeket. Az absztrakció képessége kulcsfontosságú nemcsak a tudományban, hanem a mindennapokban is. Például amikor egy stratégiai döntést kell meghoznod a munkádban, az absztrakció segít, hogy a részletektől elvonatkoztatva az egész képet lásd.

Példa: „Egy vállalkozás vezetője nem minden ügyfélproblémát tud egyenként megoldani. Ehelyett olyan rendszereket hoz létre, amelyek az általános mintázatokra épülnek – pontosan úgy, ahogyan a matematikában modellezünk folyamatokat.”

Kreativitás: Több út a megoldáshoz

Sokan azt hiszik, hogy a matematika szigorúan szabálykövető, de valójában rengeteg teret enged a kreativitásnak. Egy probléma megoldásának több módja is lehet, és a matematika megtanít arra, hogy találj alternatív utakat. Ez a képesség az életben is hasznos, például amikor egy váratlan helyzetben gyors és hatékony megoldást kell találni.

Példa: „Ha elromlik az autód a semmi közepén, és gyorsan kell alternatív közlekedési módot találnod, a matekban tanult logika és kreativitás segít, hogy a helyzetet strukturáltan közelítsd meg.”

A matek ott van mindenhol

A matematika nem csak az iskolai órák és a tankönyvek világában létezik. Láthatatlan, de alapvető szerepet játszik mindabban, ami körülvesz minket, a természet szépségétől kezdve a modern technológián át egészen a mindennapi döntéseinkig. A matek egy univerzális nyelv, amely összeköti a világot, és segít megérteni azt.

Természet és matematika: A világ titkos nyelve

A természet tele van matematikai mintázatokkal. Vegyük például a napraforgó spiráljait: ezek nem véletlenszerűek, hanem a Fibonacci-számokat követik, ami a természetes növekedés és elrendezés egyik alapvető szabálya. A csigaház spirális formája és a kagylók alakja is matematikai szabályok szerint alakul ki, amelyek az aranymetszést követik. Ezek a minták nemcsak szépséget hordoznak, hanem hatékonyságot is.

     •           Méhsejtek példája: A méhek hatszögletű lépsejtjei például geometriájuk miatt különösen praktikusak: minimális anyagfelhasználás mellett a lehető legnagyobb tárolókapacitást biztosítják. A méhek “ösztönösen” követik a matek szabályait, miközben lépsejtjeiket építik.

     •           Fraktálok a természetben: A fák ágainak elrendezése vagy a brokkoli szerkezete is fraktálokra épül, amelyek ismétlődő mintázatokból állnak. A fraktálok segítségével érthetjük meg, hogyan oszlik el az energia vagy a tápanyagok a természetben.

Példa a hétköznapokból: „Amikor sétálsz az erdőben, talán nem gondolsz rá, de a levelek elhelyezkedése az ágakon vagy a folyók kanyargása is matematikai törvények szerint történik. Ezek a minták az élet alapvető működését tükrözik.”

Technológia és matek: A digitális világ alapja

Minden modern technológia a matematika nélkülözhetetlen alapjaira épül. A GPS, amit napi szinten használunk, bonyolult matematikai számításokkal határozza meg a helyzetünket. Az internetes keresőmotorok, mint a Google, algoritmusok segítségével dolgozzák fel az adatokat, és ezek az algoritmusok matematikai modelleken alapulnak.

     •           Adatok és algoritmusok: A mesterséges intelligencia, az online hirdetések célzása, sőt még az e-mailjeink spam-szűrői is matematikai statisztikai modellek alapján működnek. A matek nemcsak lehetővé teszi, hogy a gépek „gondolkodjanak”, hanem hogy hatékonyan kezeljék az óriási mennyiségű adatot.

     •           Biztonságos bankolás: A kriptográfia, amely a bankkártyás fizetések és az online vásárlás biztonságát biztosítja, szintén matematikai alapokon nyugszik. Amikor PIN-kódot használsz, vagy titkosított üzenetet küldesz, a háttérben matematikai algoritmusok védik az adataidat.

Példa a hétköznapokból: „Amikor egy térképes alkalmazás megmutatja a leggyorsabb útvonalat, figyelembe véve a forgalmat, a háttérben nemcsak az utak hosszúságát számolják ki, hanem dinamikusan modellezik a forgalmi adatokat is. Ez a matematika szépsége a technológia világában.”

A mindennapi élet és a matek: Láthatatlan segítőnk

A matek nemcsak a természetben és a technológiában van jelen, hanem a mindennapi döntéseinkben is. Amikor megtervezed a heti költségvetésedet, vagy eldöntöd, hogy megéri-e egy akciós ajánlat, matematikai logikát használsz – még ha nem is tudatosul benned.

     •           Pénzügyek és matematika: Egy egyszerű példa: ha egy boltban egy termékre 30%-os kedvezményt kínálnak, és te gyorsan kiszámolod, mennyit spórolsz, máris a matek alapjait használod. Ugyanígy, ha egy hosszú távú hitelkonstrukciót elemzel, vagy a megtakarításaid kamatát próbálod kiszámolni, matematikai gondolkodásra van szükséged.

     •           Döntéshozatal: A matek segít abban is, hogy logikusan dönts. Például, ha egy recept 4 főre szól, és neked 6 emberre kell elkészítened, akkor az arányok kiszámításához is matekot használsz.

Példa a hétköznapokból: „Képzeld el, hogy egy új mosógép vásárlását fontolgatod. Az egyik modell kevesebbet fogyaszt, de drágább, míg a másik olcsóbb, de több áramot használ. A matek segít összehasonlítani a költségeket hosszú távon, és meghozni a pénztárcabarát döntést.”

Matek a váratlan helyzetekben

A matek nemcsak a hétköznapi rutinfeladatokban segít, hanem váratlan helyzetekben is hasznos lehet. Gondolj egy spontán kirándulásra, ahol be kell osztanod az üzemanyagot, vagy arra, amikor egy baleseti helyzetben azonnal fel kell mérned, milyen döntés a legbiztonságosabb.

     •           Rugalmasság és tervezés: A matek fejleszti a gyors helyzetfelismerést és a stratégiai gondolkodást. Ez nemcsak a napi problémák megoldásában segít, hanem abban is, hogy jobban alkalmazkodj a változó körülményekhez.

Példa a váratlan helyzetekből: „Egy váratlan vihart elkerülve új útvonalat kell tervezned, miközben a térképen figyelembe veszed a távolságokat és az időtartamot. Ez tipikusan egy olyan helyzet, ahol a matek gyors döntést segít meghozni.”

Miért tűnik néha feleslegesnek az iskolai matek?

Az iskolában tanított matematika gyakran találkozik ellenállással a diákok részéről. Sokszor hallani: „Ezt soha nem fogom használni az életben!” És bizonyos értelemben ez igaznak tűnhet – valóban nem mindenki fog mátrixokat oldani vagy trigonometrikus függvényeket használni a mindennapokban. De vajon tényleg felesleges mindez? Miért tanulunk olyan mélyen bele a matematikába, ha a való életben sokszor egyszerű számolásra van szükség?

A probléma gyökerei: Miért érezzük távolinak?

Az iskolai matematika tananyagát gyakran elvontnak és nehezen érthetőnek érzik a diákok, mert kevés példát kapnak arra, hogyan alkalmazható mindez a mindennapi életben. A másodfokú egyenletek vagy a geometriában tanult bizonyítások hasznossága nem mindig nyilvánvaló, és sok tanár sem hangsúlyozza eléggé, hogyan kapcsolódnak ezek a valósághoz.

     •           A gyakorlat hiánya: Az oktatásban gyakran az elméletre helyezik a hangsúlyt, miközben a gyakorlati alkalmazásokat háttérbe szorítják. Ha egy diák nem látja, hogy egy képlet hogyan segíthet neki egy valódi probléma megoldásában, hajlamos lesz azt gondolni, hogy feleslegesen tanulja.

Példa: „Egy diák könnyen gondolhatja, hogy a koordinátageometria sosem lesz hasznos számára. De mi van, ha egy napelem telepítését kell megterveznie? Az árnyékvetés szögeinek és a panelek optimális elhelyezésének számításakor hirtelen létfontosságúvá válik a geometria.”

Az elmélyülés fontossága: Miért kell bonyolult dolgokat tanulni?

A matematika tanulásának valódi célja nem az, hogy mindenki matematikussá váljon. Az elméleti anyagok mélysége azonban arra szolgál, hogy fejlessze azokat a készségeinket, amelyek az élet minden területén hasznosak lehetnek.

•     Logikus gondolkodás: Egy matematikai tétel bizonyítása nemcsak az adott tétel megértéséről szól. Az a folyamat, ahogyan eljutunk a bizonyításhoz, erősíti a logikus érvelési képességet, amit az élet bármely területén alkalmazhatunk.

 •        Kitartás és koncentráció: A bonyolult matematikai problémák megoldása türelmet és kitartást igényel, ami a későbbi kihívásokkal való megküzdés során nagy előny lehet.

Példa az életből: „Egy orvosnak talán sosem lesz szüksége integrálásra a munkája során, de a diagnózis felállítása során használt analitikus gondolkodás, amit a matematikából elsajátított, életet menthet.”

Miért éri meg a látszólag felesleges mélység?

Az iskolai matematika mélyebb rétegei olyan alapokat adnak, amelyekre a jövőben építhetünk, még akkor is, ha nem minden részlet lesz közvetlenül hasznos számunkra. Gondolj rá úgy, mint egy szerszámosládára: lehet, hogy nem használod az összes eszközt minden nap, de amikor szükséged van rájuk, örülsz, hogy kéznél vannak.

•           Rendszerlátás: Az elmélyült matematikai tanulmányok megtanítanak rendszerekben gondolkodni. Ez nemcsak a tudományos pályákon hasznos, hanem az üzleti életben, a menedzsmentben vagy akár a művészetekben is.

•           Váratlan helyzetek: Az élet gyakran hoz olyan helyzeteket, amelyekre nem lehetünk előre felkészülve. Az iskolában tanult matematikai készségek rugalmasabbá teszik az elmét, hogy gyorsan alkalmazkodjunk az új kihívásokhoz.

Példa: „Egy hobbi asztalos talán nem gondol a matekórákon tanult vektorokra, de amikor meg kell terveznie egy tökéletesen illeszkedő bútort, a matematikai ismeretei nélkülözhetetlenek lesznek.”

Hogyan lehetne érthetőbbé és élvezetesebbé tenni?

Az iskolai matematika népszerűsítése és érthetőbbé tétele kulcsfontosságú, hogy a diákok ne érezzék azt felesleges tehernek. Néhány ötlet, hogyan lehetne ezt elérni:

•           Gyakorlati példák használata: Mutassuk meg, hogyan kapcsolódik a matematika az építészethez, a programozáshoz vagy akár a sportstratégiákhoz.

•          Interaktív tanulás: Gamifikációval, matekos szabadulószobákkal és kihívásokkal szórakoztatóvá tehető a tanulás.

•        Híres példaképek bemutatása: A matematikusok történetei, mint például Ada Lovelace vagy Alan Turing, inspiráló példákat nyújthatnak arra, hogyan változtatta meg a matek a világot.

Hogyan segít a matematika az élet kihívásaiban?

A matematika nemcsak az iskolapadban vagy a szakmai pályákon hasznos. Az élet legváratlanabb kihívásaiban is segít, akár tudatosan használjuk, akár észrevétlenül támaszkodunk a tanult készségekre. A matek olyan eszközkészletet ad, amely az élet minden területén alkalmazható, legyen szó pénzügyekről, döntéshozatalról vagy a mindennapi problémák megoldásáról.

Mindennapi helyzetek: Matek a háttérben

A matek segít a mindennapi tevékenységeink optimalizálásában és a döntéshozatalban, még akkor is, ha nem tűnik fel, hogy használjuk.

     •           Pénzügyi döntések: Akár egy hitel kiválasztásáról, akár a havi költségvetés összeállításáról van szó, a matek segít átlátni a számokat és megalapozott döntést hozni. Például, ha autót vásárolsz részletfizetéssel, a törlesztőrészletek és a teljes költség kiszámítása matematikai készségeket igényel.

     •           Bevásárlás és spórolás: Minden alkalommal, amikor összehasonlítasz két terméket az ár-érték arány alapján, vagy kiszámolod, hogy megéri-e egy akció, a matematikát használod.

Példa: „Ha egy boltban a 3+1 akcióval kínált mosószer ára 12 euró, gyorsan kiszámolhatod, hogy egy-egy darabért 3 eurót fizetsz, ami olcsóbb, mint az eredeti ár. Ez egyszerű matek, de nélkülözhetetlen a pénzügyi tudatossághoz.”

Kritikus gondolkodás: A matek, mint szűrő

A matematika nemcsak a számokról szól, hanem arról is, hogyan értékeljük az információkat. A kritikus gondolkodás és az adatok elemzése mind matematikai alapokra épül. Ez különösen fontos a mai világban, ahol rengeteg információ zúdul ránk, és nem mindegy, hogy mit hiszünk el.

     •           Statisztikák és tények: A matek segít felismerni a pontatlan vagy manipulatív statisztikákat. Például, ha azt hallod, hogy „100%-kal nőtt egy bizonyos betegség előfordulása”, a matematikai gondolkodás segíthet megérteni, hogy ez mit jelenthet a valódi számok tekintetében.

     •           Döntések mérlegelése: Amikor egy összetett problémát mérlegelsz, a matekban tanult rendszerező gondolkodás segíthet az érvek és ellenérvek objektív elemzésében.

Példa: „Egy politikai kampányban azt állítják, hogy egy új intézkedés 50%-kal csökkentette a munkanélküliséget. A matek segíthet megérteni, hogy ez a csökkenés mit jelent a konkrét számok tekintetében – például, hogy a változás valóban jelentős-e, vagy csupán manipulált adatokat hallasz.”

Önbizalomépítés: A matek mint sikerélmény

Sok diák fél a matektól, de amikor egy nehéz feladatot sikerül megoldani, az hatalmas sikerélményt nyújthat. Ez az érzés nemcsak az iskolában fontos, hanem az élet más területein is: a matematikában szerzett önbizalom segít abban, hogy más kihívásokkal is bátran szembenézzünk.

     •           Kitartás és erőfeszítés: A matek megtanít arra, hogy egy problémát addig próbáljunk megoldani, amíg meg nem találjuk a helyes utat. Ez a hozzáállás az élet minden területén sikeressé tehet, legyen szó egy új nyelv elsajátításáról, egy vállalkozás felépítéséről, vagy egy összetett munkahelyi feladatról.

     •           Megküzdés a nehézségekkel: A matek megtanít arra, hogy a hibák a tanulási folyamat részei. Egy elrontott számítás után mindig van lehetőség újrakezdeni és más megközelítést alkalmazni.

Példa: „Ha egyszer sikerült megértened és alkalmaznod a másodfokú egyenletek megoldóképletét, akkor egy összetett projektvezetési feladatot is könnyebben fogsz kezelni, mert tudod, hogy a problémák megoldhatók lépésről lépésre.”

Váratlan helyzetek kezelése: Matek az életmentésben

Az élet gyakran hoz olyan helyzeteket, amelyekben gyorsan kell döntéseket hoznunk, és nem mindig van idő alaposan átgondolni a dolgokat. A matematikában fejlesztett logikai készségek és a problémák strukturált megközelítése ezekben a helyzetekben is nagy segítséget nyújtanak.

     •           Természeti katasztrófák és vészhelyzetek: Gondolj arra, hogy egy vészhelyzetben hogyan tudsz gyorsan mérlegelni. Ha például el kell hagynod egy épületet, a matekban tanult logika segíthet abban, hogy kiszámold a leggyorsabb és legbiztonságosabb menekülési útvonalat.

     •           Egyszerű helyzetek kezelése: Egy zsúfolt parkolóban például a matek segítségével könnyebben megtalálhatod, melyik sorba állj, hogy a leggyorsabban sorra kerülj.

Példa: „Egy nyaralás alatt a váratlanul lecsapó vihar miatt új útvonalat kell tervezned a GPS segítségével. A távolságok, az időtartam és a biztonsági tényezők gyors összevetése mind matematikai gondolkodást igényel.”

Hogyan lehetne szórakoztatóbbá tenni a matekot?

A matematika iránti szeretet vagy ellenszenv nagyban múlik azon, hogy hogyan találkozunk vele az iskolai évek során. Sokan azért tartják unalmasnak vagy nehéznek, mert a tanítás során nem mindig sikerül érdekessé és érthetővé tenni a tantárgyat. De mi lenne, ha a matekórák szórakoztatóbbak, interaktívabbak és a való élethez kötöttebbek lennének? Hogyan lehetne felkelteni a diákok érdeklődését és megmutatni, hogy a matek izgalmas? Tudjuk, hogy a mai körülmények között, a következő rész inkább fikció, mint megvalósítható realitás, de azért mégis játszunk el a gondolattal...

Gamifikáció: Tanulás játékkal

Az egyik leghatékonyabb módja a matematika népszerűsítésének a játékosítás (gamifikáció). A játékok nemcsak szórakoztatóvá teszik a tanulást, hanem versenyszellemet és motivációt is adnak.

     •           Matekos szabadulószobák: Képzeld el, hogy egy szabadulószobában vagy, ahol a kijutás feltétele a matematikai feladványok megoldása. A diákoknak együtt kell dolgozniuk, miközben logikai problémákat oldanak meg.

     •           Online játékok és alkalmazások: Számos applikáció és online játék létezik, amelyek segítenek a matek gyakorlásában. Ezek a játékok pontokat, jutalmakat vagy szinteket kínálnak, ami izgalmassá teszi a tanulást.

     •           Versenyek és kihívások: A baráti versenyek, például a „Ki oldja meg gyorsabban az egyenletet?” vagy a rejtvényfejtő kihívások, szintén lelkesítik a diákokat.

Példa: „Egy matektanár egy interaktív kincskereső játékot szervezhet, ahol minden állomásnál egy matematikai feladat várja a diákokat. A sikeres megoldások után újabb nyomokat kapnak, amelyek a végső kincshez vezetnek.”

Valós életből vett példák: Kapcsolat a mindennapokkal

Az egyik legjobb módja annak, hogy a matek érdekesebb legyen, az, ha megmutatjuk, hogyan használható a mindennapokban. A diákok sokszor azért veszítik el az érdeklődésüket, mert nem látják a kapcsolódási pontot az órákon tanultak és az életük között.

     •           Pénzügyi példák: Hogyan számítsuk ki a kamatos kamatot? Hogyan állítsuk össze a havi költségvetést? Ezek a kérdések nemcsak hasznosak, de izgalmasak is lehetnek, ha a diákok saját életükre alkalmazhatják őket.

     •           Technológiai alkalmazások: Mutassuk meg, hogyan működik a GPS, az online keresők vagy a streaming szolgáltatások algoritmusa. Ezek mind matematikai alapokra épülnek, és a diákok számára ismerős dolgok.

     •           Építészet és dizájn: A geometria és az arányok szépsége jól látható az építészetben vagy a divattervezésben. Egy projekt során a diákok maguk is tervezhetnek például egy épületet vagy egy ruhadarabot.

Példa: „Egy projekt keretében a diákoknak meg kell tervezniük egy fenntartható házat, figyelembe véve a napenergia hasznosítását, az anyagok költségeit és a hőszigetelés hatékonyságát. Ehhez a geometriai és algebrai ismereteiket kell alkalmazniuk.”

Interaktív tanulási módszerek

Az interaktív tanulás sokkal jobban leköti a diákokat, mint a hagyományos frontális oktatás. Az aktív részvétel nemcsak élvezetesebb, hanem mélyebb megértést is biztosít.

     •           Csoportos projektek: A csoportmunka során a diákok közösen oldanak meg bonyolultabb problémákat, ami fejleszti az együttműködési és kommunikációs készségeiket.

     •           Vizualizáció: A grafikonok, diagramok és 3D modellek használata segíthet abban, hogy a diákok jobban megértsék az összefüggéseket.

     •           Kísérletek és terepmunka: A diákok például kiszámolhatják, hogyan változik a folyók sodrása különböző pontokon, vagy hogyan nő a növények magassága idővel. Ezek a gyakorlati feladatok izgalmasak és tanulságosak.

Példa: „Egy diákcsoport egy kísérlet keretében azt vizsgálhatja, hogy melyik anyag a leghatékonyabb hőszigetelő. Ehhez adatokat gyűjtenek, amelyeket grafikonon ábrázolnak, és statisztikai elemzést végeznek – mindezt matektudásuk felhasználásával.”

Inspiráló példaképek: A matek hősei

A diákok számára nagy motivációt jelenthet, ha megismerik a matematika történetét és kiemelkedő alakjait. Az olyan példaképek, mint Ada Lovelace, Alan Turing vagy Neumann János, inspiráló történetekkel szolgálhatnak arról, hogyan alakította a matek a világot.

     •           Ada Lovelace: Az első programozó, aki matematikai modellek alapján készített programot.

     •           Alan Turing: A modern számítástechnika atyja, aki a második világháborúban matematikai elemzéssel törte fel az Enigma-kódot.

     •           Neumann János: Magyar származású matematikus, aki a kvantummechanika és a számítógépek fejlődésében játszott kulcsszerepet.

Példa: „Egy órán a diákok egy rövid filmet nézhetnek meg Alan Turing életéről, majd megpróbálhatják rekonstruálni az Enigma-kód megfejtésének folyamatát egy egyszerűsített modell segítségével.”

A tanárok szerepe: Hogyan tehetik élvezetessé az órákat? (maximális elismerésünk mellett a matematikát tanító tanárok iránt)

Végül, de nem utolsósorban, a tanárok szerepe kulcsfontosságú a matematika népszerűsítésében. Egy lelkes, kreatív tanár képes megváltoztatni a diákok hozzáállását, és megmutathatja, hogy a matek nemcsak hasznos, hanem izgalmas is.

•    Pozitív hozzáállás: A tanárok lelkesedése és humorérzéke átragadhat a diákokra.

•    Egyéni figyelem: A különböző képességű diákok számára testreszabott megközelítéssel a matek mindenki számára érthetőbbé válik.

•  Projektek és kreatív feladatok: A tanárok olyan feladatokat adhatnak, amelyek összekapcsolják a matekot más tantárgyakkal, például a művészetekkel vagy a természettudományokkal.

Összefoglalásképpen elmondható, hogy ha a diákok tisztában lennének hogy pl. egy egyenlet megoldásakor nem az a legfontosabb cél, hogy kiderítsük mennyi az X, hanem az, hogy azáltal,, hogy ki tudjuk számolni az X értékét, rengeteg dologra megtanítjuk az agyunkat és felkészít minket az életre. Szerintem a matek fontos és hasznos! És minden elismerésem a matematikát bármilyen szinten oktató tanároknak, hogy a mai viszonyok között töretlenül tanítanak. Köszönjük nekik!